由弗里茨·约翰条件加强的精确多项式优化

设$f,g_1,\dots,g_m$为变量向量$x=(x_1,\dots,x_n)$中带实系数的多项式。记$\text{diag}(g)$为以$g=(g_1,\dots,g_m)$为对角系数的对角矩阵，记$\nabla g$为$g$的雅可比矩阵。令$C$为由下式定义的临界点集\begin{equation} C=\{x\in\mathbb R^n\,:\,\text{rank}(\varphi(x))< m\}\quad\text{with}\quad\varphi:=\begin{bmatrix} \nabla g\\ \text{diag}(g) \end{bmatrix}\,. \end{equation} 假设$C$在$f$下的像（记为$f(C)$）为空或有限。（由于在给定的$g_1,\dots,g_m$次数下，$C$在系数空间的扎里斯基开集中为空，我们的假设在一般情形下成立。）我们提供了一列由半定规划返回的值，其有限收敛于$f$在由下式定义的基本半代数集$S$上所取的最小值\begin{equation} S:=\{x\in\mathbb R^n\,:\,g_j(x)\ge 0\,\,j=1,\dots,m\}\,. \end{equation} 因此，我们可以精确计算任意带实系数的$x$多项式在以下集合之一上的最小值：单位球、单位超立方体与单位单纯形。在稍更一般的假设下，我们将此结果推广到任意多项式在具有非空内部且由凹多项式不等式定义的基本凸半代数集上的最小化。