多项式规划中无穷远处极小值点的最优性条件

本文研究优化问题 $$\inf f_0(x) \quad \text{s.t.} \quad x \in S$$ 的必要最优性条件，其中 $f_0 \colon \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ 是一个多项式函数，$S \subset \mathbb{R}^n$ 是由多项式不等式定义的集合。假设该问题有下界且在无穷远处具有 Mangasarian-Fromovitz 性质。我们首先证明，若该问题没有最优解，则无穷远处版本的 Fritz-John 最优性条件成立。由此我们推导出无穷远处版本的 Karush-Kuhn-Tucker 最优性条件。作为应用，我们得到一个 Frank-Wolfe 型定理，该定理表明，若目标函数 $f_0$ 是方便的，则问题的最优解集非空。最后，在无约束情形下，我们证明问题的最优值是某个多项式的最小临界值。所有结果均以定义问题的多项式的牛顿多面体来表述。