实代数代数集临界点收敛性及其在优化中的应用

设 $F \in \R[X_1,\ldots,X_n]$ 且零集合 $V=\zero(\mathcal{P},\R^n)$，其中 $\mathcal{P}:=\{P_1,\ldots,P_s\} \subset \R[X_1,\ldots,X_n]$ 为有限多项式集合。我们研究 $F$ 在无限小扰动 $V_{\xi} = \zero(\{P_1-\xi_1,\ldots,P_s-\xi_s\},\R^n)$ 上的临界点的存在性。我们的主要动机是理解 log-barrier 函数(及其中心路径)的局部最小值的极限行为，其存在在现代内点方法的理论和实践中发挥着根本作用。我们建立了不同的条件集合，确保 $V_{\xi}$ 上 $F$ 临界点的存在、有限性、有界性和非退化性。这些条件导致了关于多项式优化及其扩展到由 o-明晰结构中可定义集合和函数的非线性优化问题中心路径存在、收敛和光滑性的新条件。特别地，对于由实全解析函数定义的非线性规划问题，我们的扩展为 Drummond 和 Peterzil 获得的收敛结果提供了更强的形式。