一元多项式取值的S-部分

设$S=\{p_1,\dots,p_s\}$为互异素数的有限非空集合，设$f\in \mathbb{Z}[X]$为次数$n\ge 1$的多项式，并设$S'\subseteq S$为所有满足$f$在$\mathbb{Z}_p$中有根的$p\in S$的子集。对任意非零整数$y$，记$y=p_1^{k_1}\dots p_s^{k_s}y_0$，其中$k_1,\dots,k_s$为非负整数且$y_0$为与$p_1,\dots,p_s$互素的整数。我们定义$y$的$f$-规范化$S$-部分为$[y]_{f,S}:=p_1^{k_1 r_{p_1,S}(f)}\dots p_s^{k_s r_{p_s,S}(f)}$，其中若$p\in S\setminus S'$则$r_{p,S}(f)=1$，若$p\in S'$则$r_{p,S}(f)=R_{S'}(f)/R_{p}(f)$，这里$R_p(f)$表示$f$在$\mathbb{Z}_p$中根的最大重数，且$R_{S'}(f):=\max_{p\in S'} R_p(f)$。对满足$\varepsilon<R_{S'}(f)/n$的正实数$\varepsilon, B$，我们考虑满足$|x|\le B$且$0<|f(x)|^{\varepsilon}\le [f(x)]_{f,S}$的整数$x$的个数$\widetilde{N}(f,S,\varepsilon,B)$。我们证明若$s':=\#S'\ge 1$，则当$B\to \infty$时$\widetilde{N}(f,S,\varepsilon,B)\asymp_{f,S,\varepsilon} B^{1-(n\varepsilon)/R_{S'}(f)}(\log B)^{s'-1}$。此外，若对任意$p\in S'$，$f$在$\mathbb{Z}_p$中无重根且$s':=\#S'\ge 2$，则存在常数$C(f,S,\varepsilon)>0$使得当$B\to \infty$时$\widetilde{N}(f,S,\varepsilon,B)\sim C(f,S,\varepsilon)\,B^{1-n\varepsilon}(\log B)^{s'-1}$。