整点处一元多项式、二元形式与可分解形式的值的 S-部分

设 $S$ 为一有限素数集合。非零整数 $m$ 的 $S$-部分 $[m]_S$ 是由 $S$ 中的素数构成的 $m$ 的最大正除数。2013 年，Gross 和 Vincent 证明了：若 $f(X)$ 是具有整数系数且在复数域中至少有两个根的多项式，则对于使 $f(x)$ 非零的每一个整数 $x$，有 (*) $[f(x)]_S\leq c\cdot |f(x)|^d$，其中 $c$ 和 $d$ 是可有效计算的且 $d<1$。他们的证明使用了代数数复对数线性形式的 Baker 型估计。作为 $p$-进 Thue-Siegel-Roth 定理的一个简单应用，我们证明了：若 $f(X)$ 的次数为 $n\geq 2$ 且无重根，则只要不要求 $c$ 的有效性，对于所有 $d>1/n$ 均成立形如 (*) 的不等式。此外，我们证明了当 $d=1/n$ 且 $c$ 足够小时，此类不等式不再成立。另外，我们证明了一个密度结果，对于每个 $\epsilon>0$，给出了绝对值至多为 $B$ 且使得 $f(x)$ 的 $S$-部分至少为 $|f(x)|^{\epsilon}$ 的整数 $x$ 数量的渐近估计，其具有正确的数量级。Gross 和 Vincent 的结果以及上述其他结果被推广至整点处二元形式和可分解形式的值。我们的主要工具是复对数与 $p$-进对数线性形式的 Baker 型估计、Schmidt 与 Schlickewei 的 $p$-进子空间定理，以及 Barroero 和 Widmer 最近关于格点计数的一般性结果。