五次多项式与笛卡尔符号法则
经典分析与常微分方程
2023-03-14 v1
摘要
对于无零系数的单变量实多项式，笛卡尔符号法则（由傅里叶的观察补充完整）指出：其正根数和负根数（计重数）分别被其系数序列中的符号变更数和符号保持数所优超，且差值和为偶数。对于五次多项式，A. Albouy和Y. Fu已证明：不存在具有三个互异正根且无负根、系数符号为的多项式（也不存在具有三个互异负根且无正根、系数符号为的多项式）。对于五次且首项系数为正的情形，这些都是正负根数（全部互异）与系数符号符合笛卡尔符号法则、但却不存在相应多项式的所有情况。我们通过展示多项式族的判别式集合与坐标轴的图示，来解释这种不存在性以及所有其他情况下的存在性。
引用
@article{arxiv.2005.02064,
title = {Degree 5 polynomials and Descartes' rule of signs},
author = {Hassen Cheriha and Yousra Gati and Vladimir Petrov Kostov},
journal= {arXiv preprint arXiv:2005.02064},
year = {2023}
}