关于笛卡尔符号法则

一个以 $+$ 开头、由 $d+1$ 个符号 $+$ 和 $-$ 组成的序列称为{\em 符号模式 (SP)}。我们说实多项式 $P:=x^d+\sum _{j=0}^{d-1}a_jx^j$，$a_j\neq 0$，定义了 SP $\sigma :=(+$,sgn$(a_{d-1})$, $\ldots$, sgn$(a_0))$。根据笛卡尔符号法则，对于 $P$ 的正根数量 $pos$（相应地，负根数量 $neg$），有 $pos\leq c$（相应地 $neg\leq p=d-c$），其中 $c$ 和 $p$ 分别为 $\sigma$ 中符号改变和符号保持的次数；数 $c-pos$ 和 $p-neg$ 为偶数。我们说 $P$ 以数对 $(pos, neg)$ 实现 SP $\sigma$。对于 $c=2$ 的 SP，我们给出形如 $(0,d-2k)$、$k=1$, $\ldots$, $[(d-2)/2]$ 的数对 $(pos, neg)$ 可实现（不可实现）的一些充分条件。