符号表示奇偶性的多项式与笛卡尔符号法则

实多项式$P(X_1,..., X_n)$符号表示$f: A^n \to \{0,1\}$，如果对每一点$(a_1, ..., a_n) \in A^n$，$P(a_1,...,a_n)$的符号等于$(-1)^{f(a_1,...,a_n)}$。此类符号表示在计算机科学中已被充分研究，并在计算复杂性与计算学习理论中有应用。本文通过奇偶函数的视角，对符号表示的次数与稀疏性之间的权衡进行系统研究。我们试图证明对任意集合$A$的选择都成立的界。我们证明在$\{0,...,m-1\}^n$上以每个变量次数至多$m-1$符号表示奇偶性，要求稀疏性至少$m^n$。我们展示稀疏性与次数间存在权衡，给出一个次数更高但稀疏性更低的符号表示。我们证明在$\{0,..., m-1\}^n$上表示奇偶性的任意次数多项式的稀疏性下界为$n(m -2) + 1$。我们对任意两元素子集$A$上此类多项式的稀疏性证明精确界。所用主要工具是笛卡尔符号法则，一个代数中关联多项式稀疏性与其实根个数的经典结果。作为一个应用，我们利用稀疏性界导出带顶层阈值门的二层AND-OR-NOT电路的电路下界。我们据此给出此类电路计算奇偶性所需大小$1.5^n$的简证，改进了Goldmann (1997)先前的${4/3}^{n/2}$界。我们给出$\{0,1\}^n \times \{0, 1\}^n$上内积函数$2^n$的紧下界。