多项式、符号模式与笛卡尔符号法则
经典分析与常微分方程
2019-05-10 v1
摘要
根据笛卡尔符号法则，一个所有系数均非零的实 d 次多项式 P，若其系数序列中有 c 次符号变化和 p 次符号保持（c+p=d），则其正根数 pos ≤ c，负根数 neg ≤ p，且满足 pos ≡ c (mod 2) 和 neg ≡ p (mod 2)。对于 1 ≤ d ≤ 3，对于多项式 P 系数符号序列（称为符号模式）的每一种可能选择，以及对于满足这些条件的每一对 (pos, neg)，都存在一个恰好具有 pos 个正根和 neg 个负根（全部为单根）的多项式 P。对于 d ≥ 4，情况并非如此。据观察，对于 4 ≤ d ≤ 10，在所有不可实现的情形中，要么 pos=0，要么 neg=0。曾有人猜想这对任何 d ≥ 4 都成立。我们给出了该猜想在 d=11 时的一个反例。即，我们证明对于符号模式 (+,-,-,-,-,-,+,+,+,+,+,-) 和对 (1,8)，不存在具有 1 个正单根、8 个负单根和一对共轭复根的多项式。
引用
@article{arxiv.1708.05530,
title = {Polynomials, sign patterns and Descartes' rule of signs},
author = {Vladimir Petrov Kostov},
journal= {arXiv preprint arXiv:1708.05530},
year = {2019}
}