超越笛卡尔符号法则

由实多项式 $Q:=\Sigma _{j=0}^da_jx^j$（其中 $a_j\neq 0$）定义的{\em 符号模式}为字符串 $\sigma (Q):=({\rm sgn(}a_d{\rm )},\ldots ,{\rm sgn(}a_0{\rm )})$。多项式 $Q$ 的正根与负根数量 $pos$ 和 $neg$ 满足笛卡尔符号法则。若存在一个多项式 $Q$，具有 $pos$ 个正根与 $neg$ 个负单根、$(d-pos-neg)/2$ 对复共轭根且 $\sigma (Q)=\sigma_0$，则偶对 $(\sigma _0,(pos,neg))$（其中 $\sigma _0$ 为长度 $d+1$ 的符号模式）是{\em 可实现的}。我们给出了一系列依赖于两个整参数且 $pos\geq 1$、$neg\geq 1$ 的（符号模式，偶对 $(pos,neg)$）不可实现的情形。对于 $d=9$，我们给出了符号模式中仅有两次符号变化的可实现偶对的详尽列表。