关于涉及多变量 Schmidt 多项式方幂之和的可除性

多变量 Schmidt 多项式定义为 $$S_n^{(r)}(x_0,\ldots,x_n):=\sum_{k=0}^n {n+k \choose 2k}^{r}{2k\choose k} x_k.$$ 我们证明，对于任意正整数 $m$、$n$、$r$ 以及 $\varepsilon=\pm 1$，多项式 $$\sum_{k=0}^{n-1}\varepsilon^k(2k+1) S_k^{(r)}(x_0,\ldots,x_k)^m$$ 中的所有系数均为 $n$ 的倍数。这一结果推广了 Pan 最近关于 Apéry 多项式之和的可除性的结论。