具有多解的多变量丢番图方程
数论
2007-05-23 v1
摘要
我们证明对每一组正有理整数 n 元组 (a_1,..,a_n),存在基数 s 可任意大的素数集合 S,使得方程 a_1x_1+...+a_nx_n=1(其中 x_i 均为 S-单位)的解不包含在少于 exp((4+o(1))s^{1/2}(log s)^{-1/2}) 个 C^n 的真线性子空间中。这推广了 Erdos、Stewart 和 Tijdeman 在 m=2 时的结果 [Compositio 36 (1988), 37-56]。此外我们证明:对任意 n 次代数数域 K、任意满足 1<=m<n 的整数 m,以及任意充分大的 s,存在数域中在有理数上线性独立的整数 b_0,...,b_m,以及素数 p_1,...,p_s,使得范数多项式方程 |N_{K/Q}(b_0+b_1x_1+...+b_mx_m)|=p_1^{z_1}...p_s^{z_s} 在整数 x_1,..,x_m,z_1,..,z_s 中至少有 exp{(1+o(1)){n/m}s^{m/n}(log s)^{-1+m/n})} 个解。这推广了 Moree 和 Stewart 的结果 [Indag. Math. 1 (1990), 465-472]。我们的主要工具(本文亦予以建立)是数域 K 中范数 <=X 且由不属于给定有限素理想集 T 且范数 <=Y 的素理想构成的理想个数的有效下界。这推广了 Canfield、Erdos 和 Pomerance 的结果 [J. Number Th. 17 (1983), 1-28] 以及 Moree 和 Stewart 的结果(见上)。
引用
@article{arxiv.math/0107219,
title = {Multivariate Diophantine equations with many solutions},
author = {J. -H. Evertse and P. Moree and C. L. Stewart and R. Tijdeman},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0107219},
year = {2007}
}
备注
29 pages