关于Canfield和Wilf的一个分拆问题

设A和M为正整数的非空集合。正整数n的一个分拆，其部分取自A且重数取自M，是将n表示为 n = \sum_{a\in A} m_a a 的形式，其中对所有a∈A有 m_a ∈ M ∪ {0}，且仅有有限个a满足 m_a ∈ M。记 p_{A,M}(n) 为具有部分取自A且重数取自M的n的分拆数。本文证明了存在无限正整数集合A和M，使得其分拆函数 p_{A,M} 具有弱超多项式增长但非超多项式增长。集合A的计数函数为 A(x) = \sum_{a \in A, a\leq x} 1。还证明了若M无限且 A(x) >> log x，则 p_{A,M} 必须至少具有弱超多项式增长。