关于 m 进制分拆的计数与同余

设 $m\ge 2$ 为一固定正整数。假设 $m^j \leq n< m^{j+1}$ 为某 $j\ge 0$ 下的正整数。记 $b_{m}(n)$ 为 $n$ 的 $m$ 进制分拆数，其中分拆的每个部分均为 $m$ 的幂。本文通过建立 $m$ 进制分拆与仅依赖于 $n$ 的 $m$ 进制表示的一类特殊整数序列之间的一一对应，证明 $b_m(n)$ 可表示为一个 $j$ 重求和。这直接归结为 Andrews、Fraenkel 和 Sellers 对 $b_{m}(mn)$ 模 $m$ 值的刻画。此外，记 $c_{m}(n)$ 为 $n$ 的无间隙 $m$ 进制分拆数，即若 $m^i$ 为最大部分，则对每个 $0\leq k<i$，$m^k$ 也作为部分出现。我们也得到了 $c_m(n)$ 的一个计数公式，从而为 Andrews、Fraenkel 和 Sellers 关于 $c_m(mn)$ 的同余式提供了另一种表示。