关于正整数有序与无序分解的一些结果

作为一个著名的计数问题，方程 $m=m_1+...+m_k$ 在正整数且满足 $m_1\leqslant...\leqslant m_k$ 条件下的解的个数为 $\Pi(m,k)=\sum_{i=0}^k\Pi(m-k,i)$，其中 $\Pi$ 被称为加性分拆函数。在本文中，我们给出了所谓乘性分拆函数 $\mu_1(m,k):=$ 方程 $m=m_1... m_k$ 在正整数且满足 $m_1\leqslant...\leqslant m_k$ 条件下的解的个数的递归公式。特别地，利用初等证明，我们给出了 $k=1,2,3,4$ 情形的显式公式。