支撑于 $k$-自由整数且部分和较小的积性函数

我们给出支撑于 $k$-自由整数上的积性函数 $f$ 的例子，其在素数处满足 $f(p)=\pm 1$，且其不超过 $x$ 的部分和为 $o(x^{1/k})$。进一步，若假设广义黎曼假设，则可改进指数 $1/k$：存在这样的例子，使得对所有 $\epsilon>0$，不超过 $x$ 的部分和为 $o(x^{1/(k+\frac{1}{2})+\epsilon})$。这将 Aymone 的结果（《A note on multiplicative functions resembling the Möbius function》，J. Number Theory, 212 (2020), pp. 113--121）推广到了 $k$-自由整数上。