和为零的乘性函数

$CMO$ 函数是完全乘性函数 $f$，满足 $\sum_{n=1}^\infty f(n)$ $=0$。这些函数最初由 Kahane 和 Sa"{i}as [5] 引入并研究。本文的主要目的是将此类函数推广到乘性函数，我们称之为 $MO$ 函数。更确切地说，我们定义 $MO$ 函数为满足 $\sum_{n=1}^\infty f(n) = 0$ 且对所有 $p \in \mathbb{P}$ 有 $\sum_{k=0}^\infty f(p^k)$ $\ne 0$ 的乘性函数。我们给出了 $MO$ 函数的一些性质并找到了例子，同时在文末指出了这些函数与黎曼假设的联系。