零和完全积性函数

零和完全积性函数（$CMO$）。本文研究 $CMO$，即满足 $f(1)=1$ 且 $\sum\limits_1^\infty f(n)=0$ 的完全积性（$CM$）函数 $f$。$CM$ 意味着对所有 $(a,b)\in \N^{*2}$ 有 $f(ab)=f(a)f(b)$，因此 $f$ 由其在素数 $p$ 上的值 $f(p)$ 完全确定。在假设 $f$ 为 $CM$ 的前提下，给出 $f(p)$ 上使 $f$ 成为 $CMO$ 的必要或充分条件（两者皆有可能），这是作者的总体目标。$f$ 的 $CMO$ 特性在序列 $(f(p))$ 的微小修改下保持不变（定理 3）。同样的思想也适用于更一般的背景（定理 4）。在给出此类一般性陈述（包括 $CMO$ 的示例，定理 5）之后，本文致力于研究“小”函数，即形如 $\frac{f(n)}{n}$ 的函数，其中 $f(n)$ 有界。这里有一个典型结果：若对所有 $p$ 有 $|f(p)|\le 1$ 且 $Re\, f(p)\le0$，则 $\big(\frac{f(n)}{n}\big)$ 为 $CMO$ 的一个充要条件是 $\sum \, Re\, f(p)/p=-\infty$（定理 8）。在假设 $|1+f(p)|\le 1$ 且 $f(2)\not=-2$ 的条件下，给出了另一个充要条件（定理 7）。第三个结果仅给出了一个充分条件（定理 9）。这三个结果都适用于特例 $f(p)=-1$，即欧拉的历史性例子。定理 7 和 8 需要辅助结果，这些结果或来自现有文献（Halász, Montgomery--Vaughan），或来自关于在 $f*1(n)$ 假设下 $f(n)$ 的经典结果（Ingham, Skałba）的改进版本，其中 * 表示积性卷积（定理 10 和 11）。