随机乘性函数部分和的正性及关于 Legendre 符号的问题

设 $f(n)$ 为满足 $f(p) = \pm 1$（在每个素数处独立以概率 $1/2$ 选取）的完全乘性函数。我们研究给定 $f(p) = 1$（其中 $p < y$）的条件概率，使得 $f(n)$ 的所有部分和至 $x$ 为非负。我们证明，当 $y \ge C \frac{(\log x)^2 \log_2 x}{\log_3 x}$ 时，该概率等于 $1 - o(1)$。我们也研究概率 $P_x'$ 使得 $\sum_{n \le x} \frac{f(n)}{n}$ 为负。我们证明 $P_x' \ll \exp \left( - \exp \left( \frac{\log x \log_4 x}{(1 + o(1)) \log_3 x} \right) \right)$，这改进了 Kerr 和 Klurman 给出的界限。在一个与 Hal\'asz 定理密切相关的猜想下，我们证明 $P_x' \ll \exp(-x^{\alpha})$，其中 $\alpha > 0$。设 $\chi_p(n) = \left( \frac{n}{p} \right)$ 为模 $p$ 的 Legendre 符号。对于从区间 $(x, 2x]$ 中均匀随机选取的素数 $p$，我们将 $\frac{\chi_p(n)}{n}$ 的所有部分和为非负的概率表达为 $\frac{f(n)}{n}$ 的部分和为非负的概率。