$\sum_{n\le x}\frac{f(n)}{n}$ 能有多负？

Tur\'an 观察到完全积性函数的对数部分和 $\sum_{n\le x}\frac{f(n)}{n}$（在刘维尔函数 $f(n)=\lambda(n)$ 的特例中）倾向于为正。我们发展了一种通用方法来证明旨在解释该现象的两个结果。首先，我们证明对于任意 $\varepsilon>0$，存在某个 $x_0\ge 1$，使得对于满足 $-1\le f(n)\le 1$ 的任意完全积性函数 $f$，有 $$\sum_{n\le x}\frac{f(n)}{n}\ge -\frac{1}{(\log\log{x})^{1-\varepsilon}}, \quad x\ge x_0.$$ 这改进了 Granville 和 Soundararajan 此前给出的界。其次，我们证明如果 $f$ 是一个典型的（随机的）完全积性函数 $f:\mathbb{N}\to \{-1, 1\}$，那么对于给定的大 $x$，$\sum_{n\le x}\frac{f(n)}{n}$ 为负的概率为 $O(\exp(-\exp(\frac{\log x\cdot \log\log\log x}{C\log \log x})))$。这改进了 Angelo 和 Xu 近期的工作。