一个Halász型对数均值渐近公式及其推论

我们建立了一个1有界乘性函数的对数均值渐近公式，该公式在许多感兴趣的情况下是精确的。我们从中推导出多种应用，在若干老问题上取得了进展。作为第一个应用，我们证明：若 $f$ 是取值于 $[-1,1]$ 的完全乘性函数，则存在常数 $c > 0$，使得对所有 $x \geq 3$，$$L_f(x) := \sum_{n \leq x} \frac{f(n)}{n} > -\frac{c}{(\log x)^{1-2/\pi}},$$ 从而显著改进了Granville和Soundararajan20年前的结果。我们还证明，只要 $f$ 在精确意义上不"表现得像"Liouville函数 $\lambda$，则该结果中 $\log x$ 的指数可以改进为 $-1+o(1)$。作为第二个应用，我们证明：对于Rademacher随机完全乘性函数 $\mathbf{f}$，$L_{\mathbf{f}}(x)$ 为负的概率为 $O(\exp(-x^c))$，其中 $c \in (0,1)$，从而建立了一个此前被猜想的上界。最后，我们得到了 $|L_f(x)|$ 较小时的逆定理，并构造了例子 $f$ 以表明该结果是（本质上）最优的。