关于 Halász 一个定理的脚注

我们研究满足对所有 $n$ 有 $|f(n)|\le 1$ 的乘法函数 $f$、相关的狄利克雷级数 $F(s):=\sum_{n=1}^{\infty} f(n) n^{-s}$，以及求和函数 $S_f(x):=\sum_{n\le x} f(n)$。除去可能来自数 $f(2^k)$ 的平凡贡献外，在 Hal\'{a}sz 所精确意义下，$F(s)$ 在 one-line 上至多有一个零点或一个极点。我们估计了远离任一此类点的 $\log F(s)$，并证明若 $F(s)$ 在 Hal\'{a}sz 意义下于 one-line 上有一个零点，则当 $x$ 足够大时对所有 $c>0$ 有 $|S_f(x)|\le (x/\log x) \exp\big(c\sqrt{\log \log x}\big)$。该界是最佳可能的。