具有周期系数的 Dirichlet 级数的非零性

对于任意周期为 $q$ 的周期函数 $f:{\mathbb N} \to {\mathbb C}$，我们研究 Dirichlet 级数 $L(s,f):=\sum_{n\geq 1} f(n)/n^s.$ 众所周知，该级数可解析延拓至整个复平面，仅在 $s=1$ 处有一个单极点，其留数为 $$\rho:= q^{-1}\sum_{1\leq a\leq q} f(a).$$ 因此，当 $\rho=0$ 时该函数在 $s=1$ 处解析；在此情形下，我们利用对数线性形式理论和 Dirichlet $L$-级数研究其非零性。通过这种方法，我们给出了 Okada 关于 $L(1,f)$ 非零性的一个旧准则以及 Baker、Birch 和 Wirsing 的一个经典定理的新证明。我们还给出了 $L(1,f)$ 非零性的一些新的充要条件。