具有周期系数的狄利克雷级数、黎曼函数方程与狄利克雷L-函数的实零点

在本文中，我们给出具有周期系数的狄利克雷级数，其满足黎曼函数方程并具有狄利克雷$L$-函数的实零点。细节如下。设$L(s,\chi)$为狄利克雷$L$-函数，$G(\chi)$为与原始狄利克雷特征$\chi$（${\rm{mod}} \, q$）相关的高斯和。令$f (s,\chi) := q^s L(s,\chi) + i^{-\kappa (\chi)} G(\chi) L(s,\overline{\chi})$，其中$\overline{\chi}$为$\chi$的复共轭，$\kappa (\chi) :=(1-\chi (-1))/2$。则我们证明若$\chi$为偶特征，则$f (s,\chi)$满足Hamburger定理中出现的黎曼函数方程。此外，我们证明对所有$\sigma \ge 1$有$f (\sigma,\chi) \ne 0$。而且，我们证明对所有$1/2 \le \sigma < 1$有$f(\sigma,\chi) \ne 0$当且仅当对所有$1/2 \le \sigma < 1$有$L(\sigma,\chi) \ne 0$。当$\chi$为实特征时，$f(s,\chi)$在$\Re (s) >0$内的所有零点位于直线$\sigma =1/2$上，当且仅当$L(s,\chi)$的GRH成立。然而，若$\chi$为非实特征，则$f (s,\chi)$在临界线$\sigma =1/2$外有无穷多个零点。