关于某些 Dirichlet 级数的非零性

给定 $k\in\mathbb N$，我们研究 Dirichlet 级数 $$D_k(s,f):=\sum_{n\geq1} d_k(n)f(n)n^{-s}$$ 在点 $s=1$ 处的消失性，其中 $f$ 是模素数 $p$ 的周期函数。我们证明若 $(k,p-1)=1$ 或 $(k,p-1)=2$ 且 $p\equiv 3\mod 4$，则不存在满足 $D_k(1,f)=0$ 的非零奇有理值函数 $f\not\equiv 0$，而在所有其他情况下存在满足 $D_k(1,f)=0$ 的奇函数 $f$ 的例子。作为推论，我们得到例如：当 $\chi$ 取遍模 $p$ 的奇特征时，数值集合 $L(1,\chi)^2$ 在 $\mathbb Q$ 上线性无关。