椭圆曲线在数域上的L函数消没

设 $E$ 为 $\mathbb{Q}$ 上的椭圆曲线,其 L-函数为 $L_E(s)$。对任意本原 Dirichlet 特征 $\chi$,令 $L_E(s, \chi)$ 为被 $\chi$ 扭曲的 $E$ 的 L-函数。本文利用随机矩阵理论研究扭曲 L-函数 $L_E(s, \chi)$ 在中点值 $s=1$ 处的消没。特别地,随机矩阵理论预测存在无穷多个 3 阶与 5 阶特征使得 $L_E(1, \chi)=0$,但对任意固定的素数 $k \geq 7$,仅有有限多个 k 阶特征使得 $L_E(1, \chi)$ 消没。借助 Birch 与 Swinnerton-Dyer 猜想,这些猜想可被重述为预测使得 $E$ 在 $K$ 上获得新秩的素数次数循环扩张 $K/\mathbb{Q}$ 的个数。