关于有理函数域上椭圆曲线的扭曲 L-函数在 s=1 处的消失

本文从理论和数值两方面研究了定义在有理函数域 $\mathbb{F}_q(t)$ 上的椭圆曲线 $E$（其中 $\mathbb{F}_q$ 是含 $q$ 个元素的有限域且特征 $\geq 5$）的扭曲 $L$-函数在 $s=1$ 处的消失性，所考虑的扭曲由阶为素数 $\ell \geq 3$ 的 Dirichlet 特征给出。在数域的情形中，预测此类消失是非常罕见的事件，而我们的数值数据似乎表明在函数域上对于非常数曲线这也是成立的。对于常数曲线，我们改编了 Li 与 Donepudi--Li 的技术——他们基于存在一个在 $\mathbb{F}_q(t)$ 上使无穷多个 Dirichlet $L$-函数在 $s=1/2$ 处消失，而我们可证明若存在某个 $\chi_0$ 使得 $L(E, \chi_0, 1)=0$，则存在无穷多个这样的特征。最后，我们给出一些例子表明 $\mathbb{F}_q(t)$ 上常数椭圆曲线的扭曲 $L$-函数与一般的有不同表现。