走向Birch和Swinnerton-Dyer猜想的“平均”版本
数论
2010-09-15 v2
摘要
Birch和Swinnerton-Dyer猜想指出，椭圆曲线E的Mordell-Weil群的秩等于其关联L函数L(s,E)在中心点处消逝的阶数。以往的研究集中于界定为确保发现零点而必须在中心点之上考察的距离、固定曲线的秩的界，或族中平均秩的界。Mestre证明了第一个零点出现在O(1/loglog(N_E))处，其中N_E是E的导子，尽管我们预期研究中心点附近零点的正确尺度是显著更小的1/log(N_E)。通过对单参数椭圆曲线族取平均，我们显著改进了Mestre的结果，在1/log(N_E)量级（即预期尺度）的区间内，获得了平均归一化零点数的非平凡上下界。我们的结果可被解释为为支持Birch和Swinnerton-Dyer猜想，以及随机矩阵理论中的Katz-Sarnak密度猜想（因为随机矩阵理论预测的零点数介于我们的上下界之间）提供了进一步的证据。这些方法可应用于其他L函数族。
引用
@article{arxiv.0911.2871,
title = {Towards an 'average' version of the Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture},
author = {John Goes and Steven J Miller},
journal= {arXiv preprint arXiv:0911.2871},
year = {2010}
}
备注
20 pages, 2 figures, revised first draft (fixed some typos)