复乘情形下的 Birch 与 Swinnerton-Dyer 猜想及同余数问题

Kazuma Morita

复乘情形下的 Birch 与 Swinnerton-Dyer 猜想及同余数问题

数论 2022-11-30 v4 代数几何

作者: Kazuma Morita

摘要

对于域 $K$ 上的椭圆曲线 $E$ ，Birch 与 Swinnerton-Dyer 猜想预测 Mordell-Weil 群 $E(K)$ 的秩等于 $L(E_{/ K},s)$ 在 $s=1$ 处零点的阶。在本文中，我们将给出具有复乘的椭圆曲线的证明。证明的关键方法是利用 $p$ -进 Hodge 理论，将椭圆曲线 Tate 模上无限阶的 Galois 作用化为有限阶的作用。作为推论，我们可以判定一个给定的自然数是否为同余数（同余数问题）。该问题是数学中最古老的未解问题之一。

关键词

椭圆曲线 Birch 与 Swinnerton-Dyer 猜想复乘同余数问题 p-进 Hodge 理论 Mordell-Weil 群

引用

@article{arxiv.1803.11074,
  title  = {Birch and Swinnerton-Dyer conjecture in the complex multiplication case and the congruent number problem},
  author = {Kazuma Morita},
  journal= {arXiv preprint arXiv:1803.11074},
  year   = {2022}
}

备注

The current status of my paper: https://twitter.com/KazumaMoritaS/status/1578910859002531840

复乘情形下的 Birch 与 Swinnerton-Dyer 猜想及同余数问题

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