Heegner 点之间的同余与椭圆曲线的二次扭

我们建立了具有相同的模 $p$ Galois 表示的两条椭圆曲线的 Heegner 点的 $p$-进对数之间的同余公式。作为首个应用，我们利用 $p=2$ 时的同余公式，为一大类椭圆曲线 $E$ 显式构造了许多解析秩为零（相应地，一）的二次扭。我们证明了 $E$ 的扭至扭转判别式 $X$ 的解析秩为零（相应地，一）的扭的数量为 $\gg X/\log^{5/6}X$，改进了目前由 Ono--Skinner（相应地，Perelli--Pomykala）给出的朝向 Goldfeld 猜想的最佳一般界。我们还证明了 $E$ 的许多秩零和秩一扭的 Birch 和 Swinnerton-Dyer 猜想的 2-部分，该部分仅近期针对特定的 CM 椭圆曲线 $E$ 才被确立。