Eisenstein 素数处的 Heegner 点与椭圆曲线的扭曲

给定 $\mathbb{Q}$ 上的椭圆曲线 $E$，Goldfeld 的一个著名猜想断言，其正比例的二次扭曲应具有解析秩 0（相应地，1）。我们证明，只要 $E$ 具有有理 3-同构，该猜想即成立。我们还证明了 $j$-不变量为 0 的曲线（Mordell 曲线）的六次扭曲的类似结果。为证明这些结果，我们建立了一个关于 Eisenstein 素数 $p$ 处 Heegner 点的 $p$-进对数非平凡性的一般准则，该准则用某些数域的相对 $p$-类数表示，然后将此准则应用于 $p=3$ 的特殊情形。作为副产品，我们还证明了许多 $j$-不变量为 0 的椭圆曲线的 Birch and Swinnerton-Dyer 猜想的 3-部分。