椭圆曲线在非阿贝尔扩张中的秩增长

给定一条椭圆曲线 $E/\mathbb{Q}$，Goldfeld 猜想其二次扭曲线渐近地有一半秩为零、一半秩为一。然而，更高秩的扭曲线确实存在：在奇偶性猜想成立的前提下，Gouvêa 和 Mazur 构造了判别式不超过 $X$ 的 $X^{1/2-\epsilon}$ 个秩至少为二的扭曲线。对任意 $d\geq 3$，我们基于他们的工作考虑由 $\mathbb{Q}$ 的 $d$ 次 $S_d$-扩张作扭，其判别式不超过 $X$。我们证明至少存在 $X^{c_d-\epsilon}$ 个此类具有正秩的扭曲线，其中 $c_d$ 是一个当 $d\to\infty$ 时趋于 $1/4$ 的正常数。此外，在适当的奇偶性猜想下，我们对秩至少为二的扭曲线得到了相同的结果。