椭圆曲线在$N$次根扩张上的秩增长

固定一个数域$F$上的椭圆曲线$E$以及一个3的幂的整數$n$。我们研究在基域改变到$K_d = F(\sqrt[2n]{d})$后$E$的Mordell--Weil秩的增长。若$E$容许一个$3$-同源，则我们证明$E$在$K_d$上的平均“新秩”（适当定义）随着$d$的高度趋于无穷而有界。当$n = 3$时，我们进一步证明对许多椭圆曲线$E/\mathbb{Q}$，对正比例的整數$d$，在$\mathbb{Q}(\sqrt[6]d)$上$E$没有新点。这是Cornut和Vatsal一个著名结果的水平类比。作为推论，我们证明Hilbert第十问题在正比例的纯六次域$\mathbb{Q}(\sqrt[6]{d})$上具有否定解。证明结合了我们在分圆扭曲族中阿贝尔簇秩的最新工作与一种我们称为“关联技巧”的方法，该方法适用于试图证明多个Selmer群同时消失的更一般情形。我们也将此技巧应用于Prym曲面的扭曲族，从而得到双椭圆亏格3曲线六次扭曲族中有理点个数的界。