椭圆曲线的二次扭与类数

对于正秩 $r$ 椭圆曲线 $E(\mathbb{Q})$，我们利用理想类配对 $$E(\mathbb{Q})\times E_{-D}(\mathbb{Q}) \rightarrow \mathrm{CL}(-D),$$ 对具有合适“小 $y$ 高度”有理点的二次扭 $E_{-D}(\mathbb{Q})$ 得到有效的类数下界。对于曲线 $E^{(a)}: \ y^2=x^3-a,$（秩为 $r(a)$），这给出 $$h(-D) \geq \frac{1}{10}\cdot \frac{|E_{\mathrm{tor}}(\mathbb{Q})|}{\sqrt{R_{\mathbb{Q}}(E)}}\cdot \frac{\Gamma\left (\frac{r(a)}{2}+1\right)}{(4\pi)^{\frac{r(a)}{2}}} \cdot \frac{\log(D)^{\frac{r(a)}{2}}}{\log \log D},$$ 当 $r(a)\geq 3$ 时，这是对 Goldfeld、Gross 和 Zagier 经典下界的改进。我们证明具有这样一点（分别在奇偶性猜想下具有这样一点且秩 $\geq 2$）的扭曲线 $E_{-D}^{(a)}(\mathbb{Q})$ 的数量为 $\gg_{a,\varepsilon} X^{\frac{1}{2}-\varepsilon}$。我们给出无穷多个 $r(a)\geq 6$ 的情形。这些结果可视为 Gouvêa 和 Mazur 关于秩 $\geq 2$ 二次扭数量的经典估计的类似物，此外我们还获得了对 Goldfeld-Gross-Zagier 类数下界的“对数幂”改进。