具有奇解析秩的曲线 Dy^2 = x^3 - x
数论
2007-05-23 v1
摘要
对于非零有理数 D（可取为无平方因子整数），令 E_D 为在 Q 上由“同余数”问题引出的椭圆曲线 Dy^2=x^3-x。已知 E_D 的 L-函数具有符号 -1，从而具有奇解析秩，当且仅当 |D| 模 8 同余于 5、6 或 7。对于这样的 D，根据 Birch 和 Swinnerton-Dyer 猜想我们预期这些曲线 E_D 的算术秩均为奇数，从而为正。我们证明了对每个满足 |D| 属于上述模 8 同余类且 |D|<10^6 的 D，E_D 具有正秩。我们的证明是计算性的：利用 E_1 或 E_2 的模参数化，从模曲线上的 CM 点构造每个 E_D 上的有理点 P_D，并将 P_D 计算到足够的精度，通常足以将其与 E_D 上的任意有理挠点区分开。在 1375 个我们无法数值区分 P_D 与 E_D 的挠点的情况中，我们推测 P_D 实际上是一个挠点但 E_D 的秩为 3，并通过寻找并发现一个非挠有理点来证明秩为正。我们还报告了将解析秩为奇数且大于 1 的曲线 E_D 列表猜想性推广至 |D|<10^7 的情况，这引发了若干新问题。
引用
@article{arxiv.math/0208056,
title = {Curves D y^2 = x^3 - x of odd analytic rank},
author = {Noam D. Elkies},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0208056},
year = {2007}
}
备注
8 pages, 1 figure