具有非平凡 Shafarevich-Tate 群的同余数椭圆曲线

我们研究同余数椭圆曲线 $E^{(n)}: y^2=x^3-n^2x$ 的一个子类，其中 $n$ 是一个模 $8$ 余 $1$ 且其所有素因子均模 $4$ 余 $1$ 的正整数。我们刻画了此类 Mordell-Weil 秩为零且 Shafarevich-Tate 群的 $2$-主部同构于 $\big(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \big)^2$ 的 $E^{(n)}$。我们还讨论了此类 Shafarevich-Tate 群的 $2$-主部同构于 $\big(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \big)^{2k}$（$k\ge2$）的 $E^{(n)}$。