关于高秩π/3和2π/3同余数椭圆曲线

考虑由$E_{n,\theta}:\quad y^2=x^3+2s n x^2-(r^2-s^2) n^2 x$给出的椭圆曲线，其中$0 < \theta< \pi$，$\cos(\theta)=s/r$为有理数，满足$0\leq |s| <r$且$\gcd (r,s)=1$。这些椭圆曲线与$\theta$-同余数问题相关，是同余数问题的一种推广。对于固定的$\theta$，该族对应于曲线$E_{\theta}: \, y^2=x^3+2s x^2-(r^2-s^2) x$的$n$次二次扭。我们研究了两个特例$\theta=\pi/3$和$\theta=2\pi/3$。我们发现了一个在${\mathbb Q}(w)$上秩至少为$3$的$n=n(w)$子族，以及一个由正秩椭圆曲线上的点参数化的秩为$4$的子族。我们还找到了在这两种情况下$E_{n, \theta}$在$\mathbb Q$上秩高达$7$的$n$的例子。