利用 2-下降构造同余数椭圆曲线

作为某个有理直角三角形面积的正整数称为同余数。从代数观点看，是同余数意味着满足一个方程组。早在 19 世纪人们就已明白，若 $n$ 是同余数，则方程 $nm^2 = uv(u^2 - v^2)$ 在 $\mathbb{Z}$ 中有解。利用 20 世纪建立的同余数与椭圆曲线 $E_n: y^2 = x^3 - n^2 x$ 之间的关系，我们将证明这一有两百年历史的结果的逆命题也成立。除此之外，我们用 2-下降方法给出该逆命题的另一种证明。在本文末尾，我们展示如何利用我们的证明构造秩至少为 2 和 3 的 $E_n$ 子族。