$L$-函数的三次扭曲中心值

我们感兴趣于找出对哪些正整数 $D$ 方程 $x^3+y^3=D$ 有有理解。本文旨在计算椭圆曲线 $E_D: x^3+y^3=D$ 的 $L$-函数 $L(E_D, 1)$ 的值。对于素数 $p\equiv 1\mod 9$ 的情形，Rodriguez-Villegas 和 Zagier 已计算出两个公式。我们计算了将 $L(E_D, 1)$ 与某个模函数在 CM 点的迹之平方相关联的公式。这给出了整数 $D$ 何时为两个有理立方数之和的判别准则。此外，当 $L(E_D, 1)$ 非零时，我们得到了 Tate-Shafarevich 群元素个数的公式，并证明当 $D$ 为 $\mathbb{Q}[\sqrt{-3}]$ 中的范数时该数为平方数。