椭圆曲线 $L$-函数模整数

1985年，Schoof 设计了一种算法，通过直接计算这些有理函数的分子模足够多的素数来计算有限域上椭圆曲线的 zeta 函数（见 \cite{schoof_1985}）。若 $E/K$ 是定义于特征 $p \geq 5$ 的函数域 $K$ 上且具有非常数 $j$-不变量的椭圆曲线，我们知道其 $L$-函数 $L(T,E/K)$ 是 $\mathbb{Z}[T]$ 中的多项式（见 \cite[p.11]{katz_2002}）。受 Schoof 启发，我们研究 $L(T,E/K)$ 模整数的约化。我们得到三个主要结果。首先，若 $E/K$ 对某个与 $p$ 互素的整数 $N$ 具有非平凡的 $K$-有理 $N$-挠率，我们将 Hall 关于 $L(T,E/K) \bmod N$ 的公式（见 \cite[p.133, Theorem 4]{hall_2006}）推广到所有二次扭曲 $E_f/K$，其中 $f \in K^\times \smallsetminus K^{\times 2}$。其次，在 $E(K)$ 的 $2$-挠子群无任何条件限制下，我们给出 $E/K$ 的任意两个二次扭曲的 $L$-函数模 $2$ 之商的公式。第三，我们利用这些结果计算一族无穷多个椭圆曲线二次扭曲的全局根数，并在大多数情况下求出这些扭曲各自的精确解析秩。我们还说明在有利情形下，我们的第二个主要结果比 Baig 和 Hall 的算法（见 \cite{baig_hall_2012}）能更高效得多地计算 $L(T,E_f/K) \bmod 2$。最后，我们用我们的公式直接计算出某些 $2$ 次 $L$-函数。