Galois 扭转的模曲线上的 L 函数与有理点

设 $p$ 为一个奇素数，$E/\mathbb{Q}$ 为一条有理椭圆曲线。存在一条光滑仿射曲线 $Y_E(p)$，其有理点参数化使得 $F/\mathbb{Q}$ 的椭圆曲线满足 $F[p]$ 与 $E[p]$ 为同构的 Galois 模块。本论文旨在应用 Mazur 的策略来确定 $Y_E(p)$ 的有理点。我们证明的一个结果是：若 $E,F/\mathbb{Q}$ 的椭圆曲线具有同构的 23 阶 torsion Galois 模块且 $E$ 有 Weierstrass 方程 $y^2=x^3-23$，则 $E$ 与 $F$ 是同构的。在第 1 章中，我们证明曲线 $Y_E(p)$ 及其紧致化 $X_E(p)$ 存在于更一般的基底上作为 Katz-Mazur 的模图scheme 描述其 Hecke 对应关系，并将 $X_E(p)$ 构造为 $X(p)$ 的 Galois 扭转。在第 2 章和第 3 章中，我们确定 $J_E^{\alpha}(p)$ 的雅可比范数 $X_E(p)$ 连通分量的 Tate 层，从而细化了 Virdol 的结果。在第 4 章中，我们研究 $J_E^{\alpha}(p)$ 的 $L$ 函数的因子。一般情况下，由于证明涉及的 Galois 表示的自动性似乎目前难以实现，因此只能得出一些结论。然而，在适当的自动性假设下，我们确定这些 $L$ 函数满足的函数方程的符号。在第 5 章中，我们讨论特殊情况，即 Galois 作用在 $E[p]$ 上的像包含在非分割 Cartan 子群的正规化子中。$J_E^{\alpha}(p)$ 的 $L$ 函数因子满足其符号我们确定的函数方程。在第 6 章中，我们使用 Beilinson-Flach Euler 系统和关于大型 Galois 像的结果，表明大多数 $J_E^{\alpha}(p)$ 的因子在秩为零时满足 Bloch-Kato 条件，并在除一个易于计算的素数集合之外的各个素数处证明 certain factors 的形式浸入定理。