虚二次域上椭圆曲线的模性问题

在本文中，我们建立了每一椭圆曲线 $E/F$ 的模性，其中 $F$ 取遍无穷多个虚二次域，包括 $d=1,2,3,5$ 时的 $\mathbb{Q}(\sqrt{-d})$。更确切地说，设 $F$ 为虚二次域，并假设模曲线 $X_0(15)$（它在 $\mathbb{Q}$ 上是一条秩为 $0$ 的椭圆曲线）在 $F$ 上的秩也为 $0$。则我们证明 $F$ 上的所有椭圆曲线都是模性的。更一般地，当 $F/\mathbb{Q}$ 是一个不包含五次本原单位根的虚 CM 域时，我们在关于 $\mathrm{Gal}(\overline{F}/F)$ 在 $E[3]$ 或 $E[5]$ 上表示的像的一个技术性假设下，证明了椭圆曲线 $E/F$ 的模性。我们所使用的关键新技术要素是一个关于 $p$-adic Galois 表示的局部-整体相容性定理，该表示关联到相关局部对称空间上同调中的挠元。我们在一些技术性假设下建立了晶体情形下的这一结果，但允许任意维数、任意大的正则 Hodge–Tate 权，并允许 $p$ 在虚 CM 域 $F$ 中较小且高度分歧。