具有 $X_0(15)(F)$ 有限的虚二次域 $F$

Caraiani 和 Newton 已证明，如果 $F$ 是一个虚二次数域且 $X_0(15)$ 在 $F$ 上具有秩为 $0$，则 $F$ 上每个椭圆曲线都是模的。本文关注形如 $F=\mathbb{Q}(\sqrt{-p})$（其中 $p$ 为素数）的二次域。我们给出 $p$ 满足条件的明确标准，证明这些条件在基于奇偶性猜想预期秩为偶的 $87,5\%$ 素数中成立。我们还表明，这些条件若且仅若 $X_0(15)_{-p}$ 在 $\mathbb{Q}$ 上进行 $4$ 降序可推出秩为 $0$。为证明此点，我们执行连续的两次 $2$ 降序，并证明这给出的秩界与通过 $4$ 降序得到的一致，这利用 $\mathrm{Sha}[2]$ 的可视化技术。事实上，我们证明了更一般的椭圆曲线 Higher 降序之间的联系，这本身似乎也很有趣。