$\mathbf{Q}^{\ab}$ 上椭圆曲线的无限秩

如果 $E$ 是定义在二次域 $K$ 上的椭圆曲线，且 $E$ 的 $j$-不变量不为 0 或 1728，则 $E(\mathbf{Q}^{\ab})$ 具有无限秩。如果 $E$ 是勒让德形式（Legendre form）的椭圆曲线，$y^2 = x(x-1)(x-\lambda)$，其中 $\mathbf{Q}(\lambda)$ 是一个三次域，则 $E(K \mathbf{Q}^{\ab})$ 具有无限秩。如果 $\lambda\in K$ 拥有一个次数为 4 的极小多项式 $P(x)$，且 $v^2 = P(u)$ 是 $\bbq$ 上具有正秩的椭圆曲线，我们证明 $y^2 = x(x-1)(x-\lambda)$ 在 $K\bbq^{\ab}$ 上具有无限秩。