椭圆曲线在特定非阿贝尔扩张中的秩稳定性

设 $E_{/\mathbb{Q}}$ 是一条秩为 $E(\mathbb{Q})=0$ 的椭圆曲线。固定一个奇素数 $p$、一个正整数 $n$ 和一个有限阿贝尔扩张 $K/\mathbb{Q}$，其秩为 $E(K) = 0$。在本文中，我们证明存在无穷多个扩张 $L/K$，使得 $L/\mathbb{Q}$ 是伽罗瓦扩张，且 $\operatorname{Gal}(L/\mathbb{Q}) \simeq \operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q}) \ltimes \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$，并且秩 $E(L)=0$。这是将早期关于椭圆曲线在素数幂阶循环扩张中的秩稳定性结果推广到了非阿贝尔情形。我们还得到了此类扩张数量的渐近下界，按其绝对判别式排序。