椭圆曲线在Galois $\ell$-扩张中的Selmer稳定性

我们研究椭圆曲线$E/\mathbb{Q}$在具有预定Galois群的有限Galois扩张中Selmer群的行为。固定一个$\ell \geq 5$的素数，一个有限群$G$且$\#G = \ell^n$，以及一个椭圆曲线$E/\mathbb{Q}$且$Sel_\ell(E/\mathbb{Q}) = 0$且满足满足$\ell$模Galois表示单射。我们证明存在无限多个Galois扩张$F/\mathbb{Q}$，其Galois群$Gal(F/\mathbb{Q}) \simeq G$，使得$\ell$-Selmer群$Sel_\ell(E/F)$也消失。我们给出了渐近下界，用于计数满足$|\Delta_F|\leq X$条件的此类扩张域数目$M(G, E; X)$，证明存在显式常数$\delta>0$，使得$M(G, E; X) \gg X^{\frac{1}{\ell^{n-1}(\ell - 1)}} (\log X)^{\delta - 1}$。$M(G, E; X)$的渐近结果与所有$G$-扩张$F/\mathbb{Q}$中$|Delta_F|\leq X$的 conjectural count 相符，最多只差一个对$\log X$的幂。这表明Selmer稳定性并非罕见现象。