迭代自同态的伽罗瓦理论

给定全局域 $F$ 上的阿贝尔代数群 $A$、点 $\alpha \in A(F)$ 以及素数 $\ell$，在 $[\ell]$ 的某次迭代下 $\alpha$ 的所有原像集合生成了 $F$ 的一个扩域，该扩域包含所有 $\ell$-幂挠点以及一个类 Kummer 扩域。我们分析了该扩域的伽罗瓦群，并对几类 $A$ 给出了简单刻画，说明何时该伽罗瓦群在自同态环或 Weil 配对所施加的约束下达到最大可能。该伽罗瓦群编码了关于 $F$ 的整数环中素理想 $\p$ 的密度信息，这些素理想满足 $(\alpha \bmod{\p})$ 的阶与 $\ell$ 互素。我们在一般情形下计算了几类 $A$（包括椭圆曲线和一维环面）的该密度。例如，若 $F$ 为数域，$A/F$ 为具有满射 2-adic 表示的椭圆曲线，且 $\alpha \in A(F)$ 满足 $\alpha \not\in 2A(F(A[4]))$，则使得 ($\alpha \bmod{\p}$) 具有奇数阶的 $\mathfrak{p}$ 的密度为 11/21。