$\ell$-进 Galois 表示的群论独立性

设 $K/\mathbb{Q}$ 为特征零的有限生成域，$X/K$ 为光滑射影簇。固定 $q\in\mathbb{N}$。对于每个素数 $\ell$，令 $\rho_\ell$ 为 $\mathrm{Gal}(K)$ 在 \'etale 上同调群 $H^q(X_{\overline{K}}, \mathbb{Q}_\ell)$ 上的表示。对于域 $k$，我们用 $k_{\mathrm{ab}}$ 表示其最大阿贝尔 Galois 扩张。我们证明存在有限的 Galois 扩张 $k/\mathbb{Q}$ 和 $F/K$，使得受限表示族 $(\rho_\ell|\mathrm{Gal}(k_{\mathrm{ab}} F))_\ell$ 在群论意义上是独立的，即对于所有素数 $\ell_1\neq \ell_2$，$\rho_{\ell_1}(\mathrm{Gal}(k_{\mathrm{ab}} F))$ 和 $\rho_{\ell_2}(\mathrm{Gal}(k_{\mathrm{ab}} F))$ 没有共同的有限单商群。