椭圆曲线与有限生成 Galois 群

设 $K$ 为 $\mathbb{Q}$ 的一个扩张，$A/K$ 为一条椭圆曲线。如果 $\mathrm{Gal}(\bar K/K)$ 是有限生成的，则 $A$ 在 $K$ 上的秩为无限。特别是，这表明 Junker-Koenigsmann 猜想的 $g=1$ 情形。这种"反-Mordellic" 结果源自一个新的"Mordellic" 定理：若 $K_0$ 相对于 $\mathbb{Q}$ 是有限生成的，则椭圆曲线 $A_0/K_0$ 在 $K_0$ 所有有限度 Galois 扩张的合成域中的点构成一个准自由阿贝尔群。这进一步源自第二个 Mordellic 定理：若 $A_0$ 在 $K_0$ 定义的扩张中，其点群相对于 $A_0(\bar K_0)$ 的 torsion 构成一个免于 torsion 的自由群。