具有无穷多有理点的素数幂级模曲线

对于每个包含 $-I$ 且具有满行列式的 ${\rm GL}_2(\hat{\mathbb{Z}})$ 的开子群 $G$，令 $X_G/\mathbb{Q}$ 表示模曲线，它粗略地参数化了其伽罗瓦表示（源于对其挠点的伽罗瓦作用）的像包含在 $G$ 中的椭圆曲线。在共轭意义下，我们确定了使得 $X_G(\mathbb{Q})$ 为无穷集的素数幂级这类群 $G$ 的一个完整列表，共有 $248$ 个。对于每个 $G$，我们还构造了从每个 $X_G$ 到 $j$-线的显式映射。该列表包含 $220$ 条亏格为 $0$ 的模曲线和 $28$ 条亏格为 $1$ 的模曲线。对于每个素数 $\ell$，这些结果为来自 $\mathbb{Q}$ 上椭圆曲线的 $\ell$-进伽罗瓦表示的可能像提供了一个显式分类，除了一个有限的例外 $j$-不变量集合外，该分类是完备的。